2010-09-20 22:01:32 +0800 #1
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难道结果均为阿列夫1？[img]images/smilies/default/mad.gif[/img]
2010-09-20 22:01:32 +0800 #2
2010-09-20 22:01:32 +0800 #3
是的
这里不是自然数（实数、复数……）的幂运算，意义是不同的
底数和指数位置，分别表示某一个集合的势（基数），对于有限集，就是元素个数。对于集合X,不管有限集无限集，其基数我们用|X|表示，X^Y表示“Y→X”的函数（就是映射）个数，一切都是参考有限集来推广的，如果|X|=m，|Y|=n，定义域为Y，到X的映射（不必是满射）的个数就是m^n，推广后就是|X|^|Y|=|X^Y|（具体的一些定义的合理性等细节问题就不展开了）
这样的话，2^阿列夫0，就是从自然数集到{0,1}的所有映射所构成的集合A的势（也是自然数集的幂集，即自然数集的所有子集构成的集合的势），而3^阿列夫0，就是从自然数集到{0,1,2}的所有映射所构成的集合B的势，可以证明他们是等势的
事实上，如果|X|与|Y|是有限数，而|Z|无限，则|X|^|Z|=|Y|^|Z|
P.S. [阿列夫n+1]=2^[阿列夫n]，这是广义连续统假设下的情形，阿列夫n是康托设想的一连串基数，就像自然数0,1,2,3,4……，按顺序给一个名字，并没规定[阿列夫n+1]=2^[阿列夫n]，2^[阿列夫0]，就是实数集的势[阿列夫]，但是他是不是[阿列夫1]，并不确定，康托猜想它是，这就是连续统假设，而后来知道这个假设是独立于集合论的ZFC公理的，也就是在ZFC公理系统里，该假设无法被证明也无法被证否
这里不是自然数（实数、复数……）的幂运算，意义是不同的
底数和指数位置，分别表示某一个集合的势（基数），对于有限集，就是元素个数。对于集合X,不管有限集无限集，其基数我们用|X|表示，X^Y表示“Y→X”的函数（就是映射）个数，一切都是参考有限集来推广的，如果|X|=m，|Y|=n，定义域为Y，到X的映射（不必是满射）的个数就是m^n，推广后就是|X|^|Y|=|X^Y|（具体的一些定义的合理性等细节问题就不展开了）
这样的话，2^阿列夫0，就是从自然数集到{0,1}的所有映射所构成的集合A的势（也是自然数集的幂集，即自然数集的所有子集构成的集合的势），而3^阿列夫0，就是从自然数集到{0,1,2}的所有映射所构成的集合B的势，可以证明他们是等势的
事实上，如果|X|与|Y|是有限数，而|Z|无限，则|X|^|Z|=|Y|^|Z|
P.S. [阿列夫n+1]=2^[阿列夫n]，这是广义连续统假设下的情形，阿列夫n是康托设想的一连串基数，就像自然数0,1,2,3,4……，按顺序给一个名字，并没规定[阿列夫n+1]=2^[阿列夫n]，2^[阿列夫0]，就是实数集的势[阿列夫]，但是他是不是[阿列夫1]，并不确定，康托猜想它是，这就是连续统假设，而后来知道这个假设是独立于集合论的ZFC公理的，也就是在ZFC公理系统里，该假设无法被证明也无法被证否
2010-09-20 22:01:32 +0800 #4
谢谢
