Apollonius问题

P表示给定点，L表示给定直线、C表示给定圆
Apollonius问题是给定上述三种元素的三个组合，作一个圆，如果有给定点的要过这个定点，如果有给定直线的要与给定直线相切，如果有给定圆的要与给定圆相切。
Apollonius问题有十种情况，有一些情况是十分简单的，如PPP和LLL，这个问题很多书上都有详细的解法了，大家来总结一下吧。
（1）PPP
（2）PPL
（3）PPC
（4）PLL
（5）PLC
（6）PCC
（7）LLL
（8）LLC
（9）LCC
（10）CCC

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

PPP、LLL，不说了呵，谁都会；CCC就是那个100个初等数学问题的那个啦，很复杂的说，呵呵；
好了，下面做我没研究过的：
PPL，如果P1P2与L平行的话就易啦，不说了；
如果不平行，我看可以利用切割线定理，
作直线P1P2与L的交点N，然后作一个 半径^2=NP1*NP2 的圆与L交于两个点，然后……

[img][/img]

先搞PLL，这个相当于在两直线交角的平分线上求作： 到点P的距离与到L的距离相等的点 ，
参见kuing在某论坛的这个贴：bbs.gz4u.net/viewthread.php?tid=922523: bbs.gz4u.net/viewthread.php?tid=922523

[img][/img]

继续啊。过一两周我把所有的作图法整理发上来。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

。。。其它都不会。。。

[img][/img]

LLC可以变为LLP，LCC可以变为LPP或LPC，CCC可以变为PPP或PPC或PCC，这些解法我会逐步发上来。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

想在几何画板里面做套工具玩玩的, 结果发现它里面没有条件判断, 即使知道了尺规做法, 也未必能做出一个工具…… 因为有时要分平行和不平行用两种做法，那里面似乎不行，考虑利用sgn函数变换出不同的起始点来作，但还有精度问题，很麻烦，还是不做工具了，就想想尺规作图吧……

好像所有这10个玩意儿的作图法能统一的？

这么做看得清么?

可以的话就在画板里面画画了, 不过对于CCC这类的还是觉得恐怖，是不是要分图，而且做法选得不好就要多讨论几个特殊位置，做的通用点那也许步骤更多，屏幕上一串圆……

想想反演、相似，好像直线和圆根本就是一回事啊，有了CCC稍微调整一下应该是除了PPP这类的都能通杀吧，呵呵，不过简单的几个就直接做做吧

附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

图

附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

如果两条直线不平行，作出两条角平分线，所求圆心肯定在这两条平分线上，如果已知点不在角平分线上，那么做它关于角平分线的对称点，就成了PPL 是不是这样？

如果两直线不平行，已知点在角平分线上，或者两直线平行，应该都比较容易解决。

那十个问题确实可以用反演得到统一的解法，不过这样一来有些问题作图会变得比较复杂。
其实每类问题都有相对比较简单的作图法的。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

当已知点在已知直线或者圆上，或已知直线和已知圆相切，这样里可能知道圆心所在直线，很容易做。如果不是上述情况，如图

作出的点3或3'在所求的圆上，结合已知点以及另外一个已知条件(直线或圆)，就化为PPL或PPC问题了；如果点3(或3')与已知点A重合，说明我们作的直线1''A(或1'A)与所求的圆切于A点，也能作出结果

本问题可能没有解，也可能多至四解，给两个例子：

两解的：

四解的：

附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

汗, 圆心和已知点连线与已知直线垂直时, 还有已知点和圆心重合时按上面的方法也是做不出的. 嗯嗯,那么上面的方法是不是不太好?  其实是用反演求圆周上另一点的, 比如可以这样：

原来想做的圆周没法直接做出了，以反演中心为圆心，把一对互反点转个角度，这个圆就能作了

恩，我再想想吧

附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

恩, 先把PCC做出来，等hejoseph来发简易版的吧

为了看得清，分两套

与前面的类似，得到5和5'后，就能连同已知点A和某个已知圆应用PPC了
如果5(或5')与已知点A重合，那么就得到了点A出的切线，也能解决

如果已知点在某个已知圆上，或者两个已知圆相切，那么我们也得到了一条切线

如果两个已知圆同心，那么所求圆的圆心轨迹和对应的半径立刻可知，很容易解决

其他的位置应该用上面的那两副图能解了，嗯，也许要问如果3'点太远怎么办，或甚至那两圆一般大3'不存在，这不是太大的麻烦，如下图

呵呵，怎么发觉我只会这种作法…… 恩，其实也可以选那个定点作反演的，可转换到求两圆公切线问题，不过反来反去的，也差不多，实际我没有试过这样操作。

带P的都解决了，那下面的事情也就好办了。

附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

给几个LLC的例子，像LLC，LCC和CCC，应该都能够通过解一个过最小圆圆心的辅助问题(其他的圆按相切的方式改变半径，直线按指定方向平移)，

给个例子，应该能看明白

事先判断，可能在右方有解，且和已知圆外切，两直线按已知圆的半径平移到橙线位置，先解过已知圆圆心与两条橙线相切这么个PLL问题(虚线圆)，然后就能得到原问题的解(实线圆)

恩，上方也可能有，同样的做法

下面是个包括内切的例子

八解的情形：

附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

这串东西我就不继续做啦, 现在的水平还没法在几何画板里把所有的十个做成工具(同一个问题不分为多个工具的话)，等hejoseph的简便做法

楼上强悍！佩服中。。。。
我

[img][/img]

看了oldshanmao的方法，我的方法其实也差不多的，今晚或迟点有时间的时候发解法上来。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

差点忘了这个帖子了。
（1）PPP是很基本的作图，应该都会了，这里不说了。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

（2）PPL
给定点A、B以及直线l。
若直线AB与直线l相交于点P，则过点A、B作任意一圆与直线l有交点，过点P作这个圆的切线，其中一切点为C，以点P为圆心PC为半径作圆交直线l于点D、E，则三角形ABD与ABE的外接圆就是所求。
若直线AB与直线l平行，则作线段AB的中垂线与直线l相交于点C，三角形ABC的外接圆就是所求。



附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

（3）PPC
给定点A、B以及圆O。
若线段AB的中垂线不过点O，则过点A、B任作一圆与圆O相交于两点C、D，直线AB与直线CD相交于点P，过点P作圆O的切线，切点分别为E、F，则三角形ABE和三角形ABF的外接圆就是所求。
若线段AB的中垂线过点O，则作线段AB的中垂线与圆O相交于点C、D，则三角形ABC和三角形ABD的外接圆就是所求。



附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

（4）PLL
给定点P以及直线a、b。
若直线a、b相交于点Q，则作以a、b为边含点P的角的平分线，在角平分线上任取一点T，以T为圆心作一圆与a、b均相切，这个圆与直线PQ相交于点U、V，过点P作TU的平行线与角平分线相交于点D，过点P作TV的平行线与角平分线相交于点E，则以点D为圆心DP为半径的圆及以点E为圆心EP为半径的圆就是所求。
若直线a、b平行，在a上任取一点A，过点A作a的垂线交b于点B，作线段AB的中点C，过点P与a平行的直线与以点C为圆心AC为半径的圆相交于点D、E，过点P作CD的平行线交过点C与a平行的直线于点T，过点P作CE的平行线交过点C与a平行的直线于点U，则以点T为圆心TP为半径的圆及以点U为圆心UP为半径的圆就是所求。



附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

太高深了，看不懂，惭愧

（5）PLC
给定点P，直线l，圆O。
过点O作直线l的垂线，与圆O相交于点A、B，与直线l相交于点C，作三角形ACP的外接圆，直线BP与这个外接圆相交于另一点Q，过点P、Q作与直线l相切的圆（方法见PPL）就是所求。


附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

（6）PCC
给定点P，圆A、圆B。
任取圆A的一条不与连心重合的半径AC，作与AC平行的圆B的半径，直线CD与圆B相交于点E，作直线CD与直线AB的交点F（若CD与AB平行可以省略该步骤），作三角形PCE的外接圆，若直线AB与直线CD相交则作直线PF与这个外接圆的另一交点Q，若直线AB与直线CD平行则作过点P与AB平行的直线与这个外接圆的另一交点Q，过点P、Q作与圆A或圆B相切的圆（方法见PPC）就是所求。



附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

（7）LLL
这是很基本的作图，大家都应该会了。

（8）LLC
通过圆的缩放和直线的平移就可以转化成PLL解决了。

（9）LCC
通过圆的缩放和直线的平移就可以转化成PPL或PLC解决了。

（10）CCC
通过圆的缩放可以转化成PPP或PPC或PCC解决了。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

附Soddy圆作图法
给定三圆A、B、C，圆A圆B外切于F，圆A圆C外切于E，圆B圆C外切于D，求作一圆与圆A、圆B、圆C均内切。
作图法：
作直线AB与直线DE的交点P，过点P作圆C的切线。若直线AB与直线DE平行，则作与直线AB平行的圆C的切线。在△ABC外的切点为Q。同法作出圆B的切点R，圆A的切点S，则△QRS的外接圆就是所求的圆。
若在上面的作图法中所作的切点在△ABC内，设切点为T、U、V，则△TUV的外接圆就与圆A、圆B、圆C均外切。


附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

hi.baidu.com/%CA%FD%...02912dbd31092f.html: hi.baidu.com/%CA%FD%...d02912dbd31092f.html
由图可以看出作图过程。

hi.baidu.com/%CA%FD%D1%A7 ... 20b636b0351d23.html: hi.baidu.com/%CA%FD%...620b636b0351d23.html

楼上发的Soddy圆作图法跟我给的方法几乎是一样的。PCC一般是有四解，我上面的图中红色虚线的就是其中一个解，可能线不明显你没看清楚。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

那两个解，你的作图作不出来吗？

可以啊

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

好贴啊！顶！[img]images/smilies/default/handshake.gif[/img]

学习！

我与数学交朋友: ahwzy.blog.teacher.com.cn/index.aspx

好贴啊！顶！

codecogs.izyba.com/c...eqneditor/editor.php
latex.codecogs.com/gif.latex?
www.sitmo.com/latex/