2010-08-26 22:01:42 +0800 #1
2010-08-26 22:01:42 +0800 #2
怎么凡是提这道题都没人答的？
2010-08-26 22:01:42 +0800 #3
感觉好像是暴力题！
2010-08-26 22:01:42 +0800 #4
等价于求 k 的范围使得：
对于任意的 y∈[1/2,2]，关于 x 的方程 ycos2x-cosx-yk-k-1=0 存在实数解 x 且 cos2x≠k。
令 t=cosx，则等价于求 k 的范围使得：
对于任意的 y∈[1/2,2]，关于 t 的方程 2yt^2-t-(y+1)(k+1)=0 存在实数解 t 且 t∈[-1,1]，2t^2-1≠k。
若 2t^2-1=k，则代入方程有 t=-(k+1)，再代入可解得 k=-1 或 k=-1/2。
也就是说，只有当 k=-1 或 k=-1/2 时才可能使得那个方程存在 2t^2-1=k 的解 t ，但只要另一根符合条件，那么这样的 k 也符合条件。于是我们分别验证 k 取这两个值时的情形：
当 k=-1 时，方程有两根，为 t=0 及 t=1/(2y)，显然另一根必在 [-1,1] 内且不为 0，于是 k=-1 符合条件；
当 k=-1/2 时，方程有两根，为 t=-1/2 及 t=1/(2y)+1/2，但另一根不恒在 [-1,1] 内，于是 k=-1/2 不符合条件。
那么当 k≠-1 且 k≠-1/2 时，要存在实解，需判别式非负，即 1+8y(y+1)(k+1)>=0 对任意 y∈[1/2,2] 恒成立，易得 k>=-49/48。
而关于 t 的二次函数 g(t)=2yt^2-t-(y+1)(k+1) 开口向上，对称轴为 t=1/(4y) 必在 [-1,1] 内，于是人在 [-1,1] 上有零点，只需 g(-1)>=0 或 g(1)>=0 对于任意的 y∈[1/2,2] 恒成立，化简得 k<=(y-2)/(y+1) 对于任意的 y∈[1/2,2] 恒成立，易得 k<=1/3。
综上所述，k 的取值范围是 [-49/48, 1/3] - {-1/2} （意思是从区间内挖去-1/2这一点）。
kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好，论坛混混。
不要点击→新浪微博: kuingggg.blog.163.com]网易博客[/url]、[url=t.sina.com.cn/kkkkuing←击点要不
对于任意的 y∈[1/2,2]，关于 x 的方程 ycos2x-cosx-yk-k-1=0 存在实数解 x 且 cos2x≠k。
令 t=cosx，则等价于求 k 的范围使得：
对于任意的 y∈[1/2,2]，关于 t 的方程 2yt^2-t-(y+1)(k+1)=0 存在实数解 t 且 t∈[-1,1]，2t^2-1≠k。
若 2t^2-1=k，则代入方程有 t=-(k+1)，再代入可解得 k=-1 或 k=-1/2。
也就是说，只有当 k=-1 或 k=-1/2 时才可能使得那个方程存在 2t^2-1=k 的解 t ，但只要另一根符合条件，那么这样的 k 也符合条件。于是我们分别验证 k 取这两个值时的情形：
当 k=-1 时，方程有两根，为 t=0 及 t=1/(2y)，显然另一根必在 [-1,1] 内且不为 0，于是 k=-1 符合条件；
当 k=-1/2 时，方程有两根，为 t=-1/2 及 t=1/(2y)+1/2，但另一根不恒在 [-1,1] 内，于是 k=-1/2 不符合条件。
那么当 k≠-1 且 k≠-1/2 时，要存在实解，需判别式非负，即 1+8y(y+1)(k+1)>=0 对任意 y∈[1/2,2] 恒成立，易得 k>=-49/48。
而关于 t 的二次函数 g(t)=2yt^2-t-(y+1)(k+1) 开口向上，对称轴为 t=1/(4y) 必在 [-1,1] 内，于是人在 [-1,1] 上有零点，只需 g(-1)>=0 或 g(1)>=0 对于任意的 y∈[1/2,2] 恒成立，化简得 k<=(y-2)/(y+1) 对于任意的 y∈[1/2,2] 恒成立，易得 k<=1/3。
综上所述，k 的取值范围是 [-49/48, 1/3] - {-1/2} （意思是从区间内挖去-1/2这一点）。
kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好，论坛混混。
不要点击→新浪微博: kuingggg.blog.163.com]网易博客[/url]、[url=t.sina.com.cn/kkkkuing←击点要不
