应该很容易但我还是不会的三角问题

1、对任意锐角△ABC均有sinA+sinB+sinC>M成立，则M的最大值是多少？
2、已知园O的半径为1..半径OA,OB夹角为φ(0<φ<π),φ为常数,点C为圆上动点,若OC＝XOA+YOB(X,Y∈R).则x+y的最大值是多少？

大家不介意提点一下好吗，谢谢

说一下第一题，不知对否：

锐角三角形，
考虑下面两个式子：
1、sinA + sinB + sinC > cosA + cosB + cosC

2、cosA + cosB + cosC = 1 + 4 * sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)

走自己的路，窄也宽敞。

应该是2吧

用优化不等式。。。

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算本人愚钝，还是不会

第2题，可以试试这个思路：
设x+y=t，则y=t-x。
由OC＝XOA+YOB两边平方有： 1=x^2+y^2+2xycosφ
将y=t-x代入消元变成x的一元二次方程（含参数 t ），其中x应在区间[-1，1]内。
可利用根的分布来求出 t 的范围。

建系做，用三角。
ps：第一题不就是2吗？

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我还是喜欢用几何方法，
第一题：用正弦定理转化为：直径为1的圆内接锐角三角形周长最短值，这就简单了当两个角接近直角，一个接近零角时，接近M=2。
第二题：实质就是以x，y，oc三边构成的三角形，且oc所对的圆周角为π-φ，oc=1，求x+y的最大值，显然熟知x=y时，x+y=sec（φ/2)

对向量我个人习惯于计算，很少画图考虑。

5楼中，用根的分布确实太烦，并且x的区间也搞错了。
换种方法：显然φ应该排除平角（否则没有最大值）。这时1=x^2+y^2+2xycosφ是个椭圆或圆，而x+y=t对应一直线，t是截距。t取最值当且仅当它们相切。
建立方程组用根的判别式即可得t的范围。
虽然没几何方法简单，但对喜欢使用代数计算的人适用。

回7楼，虽然答案真是2，但为什么当两个角接近直角，一个接近零角时，M就趋近于最小值呢？

这个结论是根据图像思考的，

不过有些东西是要预先熟知的，比如三角形ABC及其外接圆，BC固定，A点在圆上运动，当A运动到弧BC中点时，L=AB+AC取最大，A离B点（或C点）越近，L越小，且是连续单调的。
用这个思考就容易得出结论。

引用:1、对任意锐角△ABC均有sinA+sinB+sinC>M成立，则M的最大值是多少？
先证 sinA+sinB>1+cosC

即 sinA+sinB+cos(A+B)>1

事实上，上式作差分解知其等价于
4sin((A+B)/2)sin((π-2A)/4)sin((π-2B)/4)>0
显然成立

于是
sinA+sinB+sinC>1+cosC+sinC=1+sqrt(2)sin(C+π/4)
显然有 sin(C+π/4)>sqrt(2)/2 ，于是得到
sinA+sinB+sinC>2

而当A=B->π/2时sinA+sinB+sinC->2，可见2是sinA+sinB+sinC的下确界，即M的最大值为2

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引用:2、已知园O的半径为1..半径OA,OB夹角为φ(0<φ<π),φ为常数,点C为圆上动点,若OC＝XOA+YOB(X,Y∈R).则x+y的最大值是多少？
记cosφ=z，易知 x^2+y^2+2xyz=1 ，整理得
(z+1)(x+y)^2+(1-z)(x-y)^2=2
由于(z+1)和(1-z)均为正数，于是由上式显然可知x+y取最大值仅当x=y，此时最大值的x+y=sqrt(2/(cosφ+1))

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引用:原帖由 俯瞰苍穹 于 2010-7-4 18:40 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=5239594&ptid=669090][img
说一下第一题，不知对否：

锐角三角形，
考虑下面两个式子：
1、sinA + sinB + sinC > cosA + cosB + cosC

2、cosA + cosB + cosC = 1 + 4 * sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)
两条式子均正确，但对第一题无用，因为第一条式已经放缩过度了。

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学习[img]images/smilies/default/biggrin.gif[/img]

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13楼把sqrt(2/(cosφ+1))写成sec（φ/2)就更简洁了。[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]

“ x^2+y^2+2xyz=1 ，整理得
(z+1)(x+y)^2+(1-z)(x-y)^2=2”
这个学习了。

噢，最后这步我懒了没想下去分简，呵呵[img]images/smilies/default/biggrin.gif[/img]

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对了，这个整理其实我在09年的高考题贴里面就用过了，见：
bbs.pep.com.cn/viewthread ... id=72072#pid4634426: bbs.pep.com.cn/viewthread ... id=72072#pid4634426
9#
事实上那个题是这个题的角度为120的情形，整理的方法一样。

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