转个平几面积比的不等式给大家练练手

设 D, E, F 分别是 △ABC 三边上的点，a, b, c, d 分别是 △AEF, △BFD, △CDE, △EDF 的面积与 △ABC 的面积的比。

求证：

引用:原帖由 kuing 于 2010-1-17 12:42 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4965987&ptid=550491][img
设 D, E, F 分别是 △ABC 三边上的点，a, b, c, d 分别是 △AEF, △BFD, △CDE, △EDF 的面积与 △ABC 的面积的比。

求证：

www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?: www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1 ...
1楼的不等式可加强为：
1/a+1/b+1/c>=3/d    (1)

事实上，有更强的不等式：
1/(bc)+1/(ca)+1/(ab)>=3/d^2   (2)

不等式(2)是浙江杨任尔于上世纪90年代提出并证明的。

类似问题：
设 D, E, F 分别是△ABC 三边BC,CA,AB上的点，α,β,γ,δ 分别是 △AEF, △BFD, △CDE, △EDF 的周长与 △ABC 的周长的比。

一个已经证明的结果是曾经被称之为卡扎里诺夫猜想的不等式问题(参见：《几何不等式》卡扎里诺夫著；刘西垣译)
：△EDF 的周长不会比△AEF, △BFD, △CDE 的周长都小。

由上面的结论知α≤δ ,β≤δ ,γ≤δ中至少有一个成立，据此我们提出下面的猜测：
证明或否定：
(1)1/α^2+1/β^2+1/γ^2≥3/δ^2

(2)1/α+1/β+1/γ≥3/δ

(3)1/(αβ)+1/(βγ)+1/(γα)≥3/δ^2

引用:原帖由 鱼儿_ 于 2010-1-19 15:04 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4968937&ptid=550491][img
     

1楼的不等式可加强为：
1/a+1/b+1/c>=3/d    (1)

事实上，有更强的不等式：
1/(bc)+1/(ca)+1/(ab)>=3/d^2   (2)

不等式(2)是浙江杨任尔于上世纪90年代提出并证明的。
嘿嘿, 我证明这个题的时候就有加强到(2)式[img]images/smilies/default/loveliness.gif[/img]

下图是我对1楼题目的证明, 鱼儿看看对不噢:



附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

对的吧，我昨晚上也去化了下，我化到你星式一样了，看了下是个不齐次的就没有搞了

无为

不齐次倒没啥, 相对来说我更不在行不全对称的, 呵呵. 还好经那么一放缩就全对称掉了[img]images/smilies/default/biggrin.gif[/img]

5楼为什么偏偏要去证：1/a^2+1/b^2+1/c^2>=3/d ^2，
而不证强度高、形式简洁而又易证的结果：1/a+1/b+1/c>=3/d ？
由后一结果可得指数推广：对于任意不小于1的正数k，有
1/a^k+1/b^k+1/c^k>=3/d ^k.

五楼中间放缩后事实上就已经证明了1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)>=3/d^2, 比1/a+1/b+1/c>=3/d强, 但形式是没那么简洁...
指数推广就显然了, 呵呵...

我的想法是：你的证明的起步应该是：
我们证明更强的不等式：1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)>=3/d^2，
这样的证明写起来要明快得多。

[img]images/smilies/default/biggrin.gif[/img]

了解了解...