kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #1
设
且[img]
www.imathas.com/cgi-....cgi?%5Cdisplaystyle \red %7Ba%7D%2B%7Bb%7D%2B%7Bc%7D%3D%7B3%7D[/img],求证:
大家看看这个不等式有什么方法弄弄.....
Auto-man2010-03-12 22:31:28 +0800 #2
考虑证明1/a^2-a^2>=-4(a-1) 可以求导
提笔四顾心茫然~~will be freshman~~
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #3
引用:原帖由 Auto-man 于 2008-4-28 17:34 发表
[/img]:
bbs.pep.com.cn/redir...=3784368&ptid=373519][img
考虑证明1/a^2-a^2>=-4(a-1) 可以求导
要是切线法行得通的话我就不用上来问了.
没那么简单, 再想想吧.....
Auto-man2010-03-12 22:31:28 +0800 #4
若a,b,c都小于等于2则那个不等式成立
若a>2 则b+c<1由凹凸性可得1/a^2-a^2+1/b^2-b^2+1/c^2-c^2>=1/a^2-a^2+2(4/(3-a)^2-(3-a)^2/4)
后面那个在(2,3)上单调增
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提笔四顾心茫然~~will be freshman~~
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #5
先谢谢回复, 用到凹凸性, 我之前做的时候直接用半凹半凸定理就可以得到
1/a^2-a^2+1/b^2-b^2+1/c^2-c^2>=1/a^2-a^2+2(4/(3-a)^2-(3-a)^2/4)
希望能有其它方法, 欢迎继续讨论.
Auto-man2010-03-12 22:31:28 +0800 #6
请问什么是半凹半凸定理?[img]images/smilies/default/handshake.gif[/img]
提笔四顾心茫然~~will be freshman~~
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #7
2......一时也比较难说....我找找相关贴子先.
ga_angel2010-03-12 22:31:28 +0800 #8
这个问题的证明，可以有2种方法： 为了方便输入，我就选择1种说明.
令a=1+x,b=1+y,c=1+z则x+y+z=0。不妨设x>=y>=z(z>-1)
原不等式等价于证明：1/((1+x)^2)+1/((1+y)^2)+1/((1+z)^2).=3+x^2+y^2+z^2.
情形1：若x<= 根号2，则(1-x^2)^2<=1, (1-x)^2<=1/((x+1)^2),即1/((1+x)^2)>=x^2-2x+1,则西格玛(1/((1+x)^2))>=西格玛x^2+3成立！
情形2：若x>根号2，则a>1+根号2， b+c<2-根号2，因此原式左边>1/b^2+1/c^2>2/((2-根号2）/2)^2)=8/(2-根号2)^2)>9>a^2+b^2+c^2，成立！
综上，原不等式成立。证毕！
另外，此题也可以用均值不等式做，不过，需要借助函数在（0，1］区间的最值，也比较容易处理。
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #9
呃, 楼上的老师能否用公式编辑器写一下, 然后以图片的方式上传上来? 你已经可以发附件的了.
ga_angel2010-03-12 22:31:28 +0800 #10
难得。。提供第一种证明方法．
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kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #11
嗯, 没问题, 谢谢!
PS.现在钢铁战士就可以发PDF这么好的呀.....呵呵.
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #12
刚刚在mathlinks又看到这题, 还有没有其它解法?
PS. 这题来源如何?
天涯无际2010-03-12 22:31:28 +0800 #13
来源:Vasile Cirtoaje(应该不陌生),曾用作2006年罗马尼亚选拔赛.[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #14
thank you
天涯无际2010-03-12 22:31:28 +0800 #15
a,b,c,d>0,
,证明:
PS:小于9元的情况都是成立的,而11元的貌似已经不成立了,10元的情况我在努力中......[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]
蒋总裁2010-03-12 22:31:28 +0800 #16
天涯好厉害，佩服中
三元的情况还是比较简单，设ab+bc+ca=x,abc=y
原式等价于(9-2x)y^2+6y-x^2<0根据基本的不等式x^2=(ab+bc+ca)^2>=3abc(a+b+c)=9abc=9y
(9-2x)y^2+6y-x^2<=0
等价于(9-2x)((x^2/9)^2+6*x^2/9-x^2<=0等价于x^2(x-3)^2(2x+3)>=0
无为
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #17
天涯是高手哩...
呃, 能用公式编辑器写写否? 有点眼花...
鱼儿_2010-03-12 22:31:28 +0800 #18
kuing大哥：
为什么不考虑加强式：
1/(bc)+1/(ca)+1/(ab)>=a^2+b^2+c^2
天涯无际2010-03-12 22:31:28 +0800 #19
嗯...对的.对四元,该加强同样成立.[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]
kuing2010-03-12 22:31:28 +0800 #20
嗯, 后来也得知这加强式成立而且证明也很容易.
kuing2010-03-12 22:31:35 +0800 #21
引用:原帖由 天涯无际 于 2010-1-9 13:45 发表
[/img]:
bbs.pep.com.cn/redir...=4955442&ptid=373519][img
a,b,c,d>0,
,证明:
PS:小于9元的情况都是成立的,而11元的貌似已经不成立了,10元的情况我在努力中......[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]
陈胜利今天发的...
www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=324786: www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=324786
嘿看到你回复了11元的[img]images/smilies/default/biggrin.gif[/img]
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