三角函数

定义在http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=R上的函数http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3D1%2Basinx%2Bbcosx%2Bcsin2x%2Bdcos2x,a,b,c,d为常数.若对任意的http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x恒有f(x)>0.试求f(x)可能达到的最大值.

转变一下风格.

---

这个好象要用到二倍角的三角函数,另外还得换元... ...
不确定... ...

看起来很麻烦啊，f(x)>0这个条件不知道怎么用，另外，此题有推广的价值么。。。
如果记 F=F(a,b,c,d)=f_max(x) ，
我知道 F的最小值是1。。。当a=b=c=d=0时。。。
F的最大值就是题目要求的了。。。做不出~

虽然很显然不过可能对求 F_max 有点启发~

下面证明 F_min = 1
设 f(x) 的最大值是M，即下式对任意的  http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20%5Cin%20%5Cleft%5B%20%7B%20-%20%5Cpi%20,%5Cpi%20%7D%20%5Cright%29 恒成立：

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29%20=%201%20+%20a_1%20%5Ccos%20x%20+%20b_1%20%5Csin%20x%20+%20a_2%20%5Ccos%202x%20+%20b_2%20%5Csin%202x%20%5Cle%20M

令 x=- Pi ，1-a1+a2<=M
令 x=-Pi/2，1-b1-a2<=M
令 x=0，1+a1+a2<=M
令 x=Pi/2，1+b1-a2<=M

将上面四个不等式累加之后，得 M>=1

哎，悲剧，还是弄出的别的东西= =

对任意的a1,b1,a2,b2，总能找到适当的 A1,phi1,A2,phi2，使得 http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29%20=%201%20-%20A_1%20%5Ccos%20%5Cleft%28%20%7Bx%20-%20%5Cvarphi%20_1%20%7D%20%5Cright%29%20-%20A_2%20%5Ccos%202%5Cleft%28%20%7Bx%20-%20%5Cvarphi%20_2%20%7D%20%5Cright%29%20%5Cgeqslant%200

令 http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20-%20%5Cvarphi%20_1%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%20%7B4%7D%5Cpi，有 http://latex.codecogs.com/gif.latex?1%20-%20%5Cfrac%7B%7BA_1%20%7D%7D%20%7B%7B%5Csqrt%202%20%7D%7D%20-%20A_2%20%5Csin%202%5CDelta%20%5Cvarphi%20%5Cgeqslant%200
令http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20-%20%5Cvarphi%20_1%20=%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%20%7B4%7D%5Cpi，有 http://latex.codecogs.com/gif.latex?1%20-%20%5Cfrac%7B%7BA_1%20%7D%7D%20%7B%7B%5Csqrt%202%20%7D%7D%20+%20A_2%20%5Csin%202%5CDelta%20%5Cvarphi%20%5Cgeqslant%200

两式相加得到 http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_1%20%5Cleqslant%20%5Csqrt%202

令 http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20-%20%5Cvarphi%20_2%20=%200，有 http://latex.codecogs.com/gif.latex?1%20-%20A_1%20%5Ccos%20%5CDelta%20%5Cvarphi%20-%20A_2%20%5Cgeqslant%200
令 http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20-%20%5Cvarphi%20_2%20=%20%5Cpi，有 http://latex.codecogs.com/gif.latex?1%20+%20A_1%20%5Ccos%20%5CDelta%20%5Cvarphi%20-%20A_2%20%5Cgeqslant%200
两式相加得到 http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_2%20%5Cleqslant%201

考虑一下A1,A2同时取等的条件，有 http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20%5Cvarphi%20=%20%5Cvarphi%20_2%20-%20%5Cvarphi%20_1%20=%20%5Cpm%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%20%7B2%7D%20+%202k%5Cpi

事实上,可以很容易的证明f(x)<3.....

那把证明放上来吧，答案就是3

例子如下：http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29%20=%201%20-%20%5Cfrac%7B4%7D%20%7B3%7D%5Ccos%20x%20+%20%5Cfrac%7B2%7D%20%7B3%7D%5Ccos%202x