用向量法或几何法能证明吗？

O是三角形ABC中一点，且角AOB=角BOC=角COA=120度。求证OA^2/AB^2+OB^2/BC^2+OC^2/CA^2<=9/4

引用:原帖由 沙漠繁荣 于 2009-12-31 09:57 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4939625&ptid=539244][img
O是三角形ABC中一点，且角AOB=角BOC=角COA=120度。求证OA^2/AB^2+OB^2/BC^2+OC^2/CA^2>=9/4
貌似不等式反向成立

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O是三角形ABC中一点，且角AOB=角BOC=角COA=120度。求证OA^2/AB^2+OB^2/BC^2+OC^2/CA^2>=9/4
I think    2>OA^2/AB^2+OB^2/BC^2+OC^2/CA^2>=1

几何法没有, 我只会代数法

令OA=x, OB=y, OC=z, 则
OA^2/AB^2+OB^2/BC^2+OC^2/CA^2 = x^2/(x^2+xy+y^2)+y^2/(y^2+yz+z^2)+z^2/(z^2+zx+x^2)

而

x^2/(x^2+xy+y^2)+y^2/(y^2+yz+z^2)+z^2/(z^2+zx+x^2) - 1
= ((y^2z-z^2x)^2+(z^2x-x^2y)^2+(x^2y-y^2z)^2)/(2(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2))
>=0
等号成立当且仅当x=y=z.

而
2-(x^2/(x^2+xy+y^2)+y^2/(y^2+yz+z^2)+z^2/(z^2+zx+x^2))
= (x+y+z)(xy+yz+zx)(xy^2+yz^2+zx^2)/((x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2))
> 0
当 y=z^2 -> 无穷大时 x^2/(x^2+xy+y^2)+y^2/(y^2+yz+z^2)+z^2/(z^2+zx+x^2) -> 2.

综上有 2>OA^2/AB^2+OB^2/BC^2+OC^2/CA^2>=1 且两边已最佳.

看看有没有什么问题

我也只会代数法，想找一找其他方法。