三角形内的不等式四（额……）

设三角形ABC的三边长为a、b、c，面积为S，求证

3(a-b)²+3(b-c)²+3(c-a)² ≥ a²+b²+c²－(4√3)S ≥ (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²

读懂我用户名之人正如此用户名！

应该可以用差分代换，c=min{a,b,c},b=c+x,a=c+x+y
这个是a²+b²+c²>=(4√3)S的加强式

F-H不等式...
楼上的是外森比克不等式

用s-R-r方法的话,

左边的不等式等价于
sqrt(3)sr+s^2-16Rr-4r^2>=0

右边的不等式等价于
4R+r>=sqrt(3)s

可是我不在行这个的证, 如果又转化为代数, 那么岂不白化s-R-r了么?...

谁会证?

[img]images/smilies/default/smile.gif[/img] 为什么不考虑Gerretsen不等式呢....很快就出来了呢。[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]

噢 s^2>=16Rr-5r^2 吗?

那左边的就
sqrt(3)sr+s^2-16Rr-4r^2
>=sqrt(3)sr-9r^2
只需证
s>=3sqrt(3)r
呵呵, 这个就显然了...
行
那右边呢?

半周长为p,则p^2<4R^2+4Rr+3r^2

噢, 我也查到了, 原来我一直忘记了另一边...[img]images/smilies/default/sweat.gif[/img]

4R^2+4Rr+3r^2>=s^2>=16Rr-5r^2
记一下

4R+r>=sqrt(3)s
<=>16R^2+8Rr+r^2>=3s^2
由
4R^2+4Rr+3r^2>=s^2
只需证
16R^2+8Rr+r^2>=3(4R^2+4Rr+3r^2)
上式等价于
4(R-2r)(R+r)>=0
由欧拉不等式R>=2r显然成立

额，有没有不用s-R-r的方法的呢，有没有直接用a,b,c弄的……

读懂我用户名之人正如此用户名！

当然有的。其实很简单(只写一下右边)

上式即Newton不等式，故原不等式成立.

第二行中间是减...
嗯, 可以的...

郁闷，证出的比较弱，有没有比较直接的证法。。。

好吧，把12楼的证完。。。其实我不知道牛顿不等式是啥。。。


两边平方后有

这个用排序用柯西都可以了。

不如把左边的证明也补上?

顺便地 2(xy+yz+zx)^2-6xyz(x+y+z)=x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2

在补了么?
左边按那个方法做起来没右边那么快捷, sheep可以练习一下...

没算错的话, 内切圆代换后, 左边等价于正数x,y,z下的:



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直接3次Schur，然后就是显然的均质不等式.

嗯, 这个证法快...很好哈...
我的还是无聊的SOS了一下...[img]images/smilies/default/sweat.gif[/img]

嗯, 就是这样, 你提到Schur我就知道怎么下去了...嘿嘿, 谢谢天涯无际...

不要脸地贴一下我的SOS结果...[img]images/smilies/default/sweat.gif[/img]

只希望没计算错误, 不过估计也没人会验证一下? 错了也不知道了哎...我又懒得翻查了...


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sheep?

学校网真差阿。。。连刷公式都刷不出了，自己用Word打。。。

第四行打错了，正确的应为：“注意到f(u)有三个根，且在((p-q)/3,(p+q)/3)上递减”


多谢 KK 提醒。。。
上面有一部是等式两边约去 (p-2q) 的，这里补充说明一下，若 p-2q>=0，则没有问题；若p-2q<0，则原不等式左边为负，右边为正，显然成立。

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谢谢sheep, 为方便观看编辑下你的贴子...., 不介意吧?[img]images/smilies/default/biggrin.gif[/img]

有个问题噢, 到后面似乎要有p>=2q才能约掉(p-2q)吧, 可是这ms你没给出?

嗯, 编辑过后OK了.

iask.sina.com.cn/b/16383722.html: iask.sina.com.cn/b/16383722.html
外森比克的另一加强式
a^2+b^2+c^2≥4√3△*(ma/ha)

iask.sina.com.cn/b/16383721.html: iask.sina.com.cn/b/16383721.html
再来一个
a^2+b^2+c^2≥2√3△(mc/ha+ma/hc)

4R+r>=sqrt(3)s<==>tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)>=sqrt(3)
<==> cotA+cotB+cotC>=sqrt(3)(角变换)

谢谢了嘿
提醒了我一个恒等式
呃, 那个角变换是不是 A/2->90-A', B/2->90-B', C/2->90-C' 这样子?