2010-01-30 20:01:13 +0800 #1
2010-01-30 20:01:13 +0800 #2
仅有唯一解(x,y)=(3,2),不知是否?
2010-01-30 20:01:13 +0800 #3
不好意思，写错顺序，并且忘记了一些的情况，应该是
(x,y)=(2,3),(2,-3),(0,-1),(-1,0),（0,1)
(x,y)=(2,3),(2,-3),(0,-1),(-1,0),（0,1)
2010-01-30 20:01:13 +0800 #4
2010-01-30 20:01:13 +0800 #5
2010-01-30 20:01:13 +0800 #6
能不能证明：两个相邻正偶数的乘积是完全立方数，则这两个偶数只能是2，4.
数学爱好者//
梦自己想梦的，做自己想做的，因为生命只有一次，机会不会再来!
天天快乐！元旦快乐！Happy New Year !
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2010-01-30 20:01:13 +0800 #7
若该命题成立，则1#的题目就好求解了
y2=x3+1>=0 => x>=-1
(1)x = -1 , y = 0 ; x = 0 ,y = ±1
(2) x > = 1
x3=(y-1)(y+1)
注意到(y-1,y+1)=d<=2
d=2,则 y-1，y+1是两相邻偶数，……
d=1,则y-1=m3,y+1=n3,n3-m3=2,……
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y2=x3+1>=0 => x>=-1
(1)x = -1 , y = 0 ; x = 0 ,y = ±1
(2) x > = 1
x3=(y-1)(y+1)
注意到(y-1,y+1)=d<=2
d=2,则 y-1，y+1是两相邻偶数，……
d=1,则y-1=m3,y+1=n3,n3-m3=2,……
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2010-01-30 20:01:13 +0800 #8
2010-01-30 20:01:13 +0800 #9
2010-01-30 20:01:13 +0800 #10
y ²=|0±[1+3+5+7+…+(2y-1)]|=x³+1,
2010-01-30 20:01:13 +0800 #11
2010-01-30 20:01:13 +0800 #12
A. Wakulicz (Gliwicr): On The Equation x3+y3=2z3
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他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/
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2010-01-30 20:01:13 +0800 #13
y=±√(x+1)(x^2-x+1)
∴①x+1=0
②x+1=x^2-x+1
③∵整数值∴当x＞2时x^2-x+1＜(x+1)^2∴x^2-x+1≠(x+1)^3
④(x+1)和(x^2-x+1)均为平方数,但当x＞2时x^2-x+1=[1+3+5+7+9+……+(2x-1)]-x+1不为平方数,即不满足:1+3+5+7+…形式
⑤(x+1)・(x^2-x+1)为平方数 ，除①、② 整解，(x^2-x+1)不存在（x+1）整数因子。
老师，不知在下对不？还望老师指正！谢谢！
∴①x+1=0
②x+1=x^2-x+1
③∵整数值∴当x＞2时x^2-x+1＜(x+1)^2∴x^2-x+1≠(x+1)^3
④(x+1)和(x^2-x+1)均为平方数,但当x＞2时x^2-x+1=[1+3+5+7+9+……+(2x-1)]-x+1不为平方数,即不满足:1+3+5+7+…形式
⑤(x+1)・(x^2-x+1)为平方数 ，除①、② 整解，(x^2-x+1)不存在（x+1）整数因子。
老师，不知在下对不？还望老师指正！谢谢！
2010-01-30 20:01:13 +0800 #14
你那里没有没有满足③④条件的解不能否定原方程就无解，例如两因式如果有6×24，就不满足你列举的任何形式，但仍然满足题目的条件。
当然实际上不可能出现这样的情形，但你需要证明。
他山之石，可以攻玉。
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当然实际上不可能出现这样的情形，但你需要证明。
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2010-01-30 20:01:13 +0800 #15
x>2时没因子2？老师看看，别笑我……，6×24满足(x+!)(x^2-x+1)式？等会，我接孩子，再见！
2010-01-30 20:01:13 +0800 #16
2010-01-30 20:01:13 +0800 #17
请教老师：(x^2-x+1)/(x+1)=(x-2)+3/(x+1)可否说明当x>2时(x^2-x+1)中始终有与(x+1)互质的不可开平方的因子，我有些糊涂……
即设（x^2-x+1)=(a+1)^2，或（x+1)=(a+1)^2两者是否有不可开整数互质因子？
即设（x^2-x+1)=(a+1)^2，或（x+1)=(a+1)^2两者是否有不可开整数互质因子？
2010-01-30 20:01:13 +0800 #18
设|y|=x+n
y=±(x+n)
则(x+n)^2=(x+1)(x^2-x+1)
∴n=1
又x≥-1
∴x≥3无整解
y=±(x+n)
则(x+n)^2=(x+1)(x^2-x+1)
∴n=1
又x≥-1
∴x≥3无整解
2010-01-30 20:01:13 +0800 #19
2010-01-30 20:01:13 +0800 #20
你也想得太简单了，n=1你怎么得到？
举个简单的例子：
y2=x3=x・x2
难道这样你就能得到y=x？这显然就是错误的，这个方程有通解y=t3，x=t2，其中t是任意整数。
他山之石，可以攻玉。
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举个简单的例子：
y2=x3=x・x2
难道这样你就能得到y=x？这显然就是错误的，这个方程有通解y=t3，x=t2，其中t是任意整数。
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2010-01-30 20:01:19 +0800 #21
老师：
抱歉！[img]images/smilies/default/loveliness.gif[/img]
n^2+2nx+x^2-x^3-1=0
解得:n=-x±√(x^3+1)
领教了[img]images/smilies/default/handshake.gif[/img]， 跟何老师学的太多了！[img]images/smilies/default/sad.gif[/img] 老师，谢谢！您很亲切！[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]
抱歉！[img]images/smilies/default/loveliness.gif[/img]
n^2+2nx+x^2-x^3-1=0
解得:n=-x±√(x^3+1)
领教了[img]images/smilies/default/handshake.gif[/img]， 跟何老师学的太多了！[img]images/smilies/default/sad.gif[/img] 老师，谢谢！您很亲切！[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]
2010-01-30 20:01:19 +0800 #22
对于n=1:
是[img]images/smilies/default/sad.gif[/img]x+n)^2=(x+1)(x^2-x+1)两个同次恒等
①(x+n)(x+n)=(x+1)(x^2-x+1)
②x^2+2nx+n^2=(x^2-x+1)(x+1)
但如您所说，欠考虑，n=1和这有限的几组解用了同样的解法，所以居然戏剧性的"合理"!
老师见笑了!
弊病就在我假借了(x+1)=x^2-x+1=x+1 (x+1)^2=0 x=-1
(x+1)=x^2-x+1 x=0 or x=2
和x+1=1 x=0
是[img]images/smilies/default/sad.gif[/img]x+n)^2=(x+1)(x^2-x+1)两个同次恒等
①(x+n)(x+n)=(x+1)(x^2-x+1)
②x^2+2nx+n^2=(x^2-x+1)(x+1)
但如您所说，欠考虑，n=1和这有限的几组解用了同样的解法，所以居然戏剧性的"合理"!
老师见笑了!
弊病就在我假借了(x+1)=x^2-x+1=x+1 (x+1)^2=0 x=-1
(x+1)=x^2-x+1 x=0 or x=2
和x+1=1 x=0
