2010-01-11 13:31:24 +0800 #1
a,b,c>0,求下式的最小值(或者下确界)
2010-01-11 13:31:24 +0800 #2
f(a,b,c)min=0.23404914224915599750245788960545
2010-01-11 13:31:24 +0800 #3
下确界是0
2010-01-11 13:31:24 +0800 #4
原式恒等于
(a^2c+b^2a+c^2b-3abc)/(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)
由齐次性不妨设c=1, 上式化为
(a^2+b^2a+b-3ab)/(a^2b+b^2+a-3ab)
再设b=ta, 上式化为
(a+t^2a^2+t-3ta)/(ta^2+t^2a+1-3ta)
令a和t都趋向0, 则上式也趋向0, 而原式又显然为正数, 所以下确界为0.
(a^2c+b^2a+c^2b-3abc)/(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)
由齐次性不妨设c=1, 上式化为
(a^2+b^2a+b-3ab)/(a^2b+b^2+a-3ab)
再设b=ta, 上式化为
(a+t^2a^2+t-3ta)/(ta^2+t^2a+1-3ta)
令a和t都趋向0, 则上式也趋向0, 而原式又显然为正数, 所以下确界为0.
2010-01-11 13:31:24 +0800 #5
也由此可见原式也可趋向无穷
2010-01-11 13:31:24 +0800 #6
[img]images/smilies/default/smile.gif[/img] 可以通过很简单的构造来说明.Kuing 的构造就是.
2010-01-11 13:31:24 +0800 #7
还有其它没?
2010-01-11 13:31:24 +0800 #8
令a=e^t,b=1,c=e^(2t),则当t为无穷大时,可趋于0[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]
