2010-01-08 22:00:14 +0800 #1
题目不一定正确！请不感兴趣的同学和老师不要浪费时间！
注意：当 k=0 时，取 a=b=1，c=2，易知上述不等式不成立，故如果题目正确的话，应该有 k_max<0
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注意：当 k=0 时，取 a=b=1，c=2，易知上述不等式不成立，故如果题目正确的话，应该有 k_max<0
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但又有些情形不成立, 故我们应该研究使不等式成立的k的取值范围...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #2
k可以正无穷大, 也可以负无穷大.
但又有些情形不成立, 故我们应该研究使不等式成立的k的取值范围...
但又有些情形不成立, 故我们应该研究使不等式成立的k的取值范围...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #3
还有, k=0时, 不等式反向成立.
我们先把k>0的情况研究一下...
为方便研究, 我们把正数条件改为非负, 并且不允许有两个0.
我们先把k>0的情况研究一下...
为方便研究, 我们把正数条件改为非负, 并且不允许有两个0.
2010-01-08 22:00:14 +0800 #4
研究这类问题, 半凹半凸的东东是很好用的, 以下是k>0时的简单研究:
由齐次性, 我们不妨设 a+b+c=1, 并两边取自然对数(k>0时项都是正就可以取了), 化为
ln(k+a/(1-a))+ln(k+b/(1-b))+ln(k+c/(1-c))>=3ln(k+1/2).
令 f(x)=ln(k+x/(1-x)), x in [0,1), 则 f ' ' (x) = ((2-2k)x+2k-1)/((x-1)^2(kx-k-x)^2),
注意到 f ' ' (x) 的分子是个关于x的一次函数, 且当x->1时显然为正, 当x=0时未知正负, 但无论是正是负, 我们都可以知道这样一个信息:
f(x)在[0,1)上要不就全下凸, 要不就先上凸后下凸, 故此, 要考虑 f(a)+f(b)+f(c) 的最小值情况, 只需考虑两种情况:
(1), a=0
(2), b=c
待续...
由齐次性, 我们不妨设 a+b+c=1, 并两边取自然对数(k>0时项都是正就可以取了), 化为
ln(k+a/(1-a))+ln(k+b/(1-b))+ln(k+c/(1-c))>=3ln(k+1/2).
令 f(x)=ln(k+x/(1-x)), x in [0,1), 则 f ' ' (x) = ((2-2k)x+2k-1)/((x-1)^2(kx-k-x)^2),
注意到 f ' ' (x) 的分子是个关于x的一次函数, 且当x->1时显然为正, 当x=0时未知正负, 但无论是正是负, 我们都可以知道这样一个信息:
f(x)在[0,1)上要不就全下凸, 要不就先上凸后下凸, 故此, 要考虑 f(a)+f(b)+f(c) 的最小值情况, 只需考虑两种情况:
(1), a=0
(2), b=c
待续...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #5
先说个题外:
话说在回此贴之前刚好在mathlinks碰到一个, 也是这个样子, 连接:
www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=315804: www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=315804
我也是判断出只要考虑这两种情况了...
话说在回此贴之前刚好在mathlinks碰到一个, 也是这个样子, 连接:
www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=315804: www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=315804
我也是判断出只要考虑这两种情况了...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #6
续4#吧
当a=0时好处理, 用回原不等式的东东, 左边为 k(k+b/c)(k+c/b), 显然有
k(k+b/c)(k+c/b)>=k(k+1)^2,
故此时应有
k(k+1)^2>=(k+1/2)^3,
解得
k>=(sqrt(5)-1)/4;
当b=c时, 可得b=c=(1-a)/2, 故左边为 (k+a/(1-a))(k+(1-a)/(1+a))^2, 不等式作差分解化为
(3a-1)^2(a(4k^2-2k+1)+4k^2+2k-1)/(8(1-a)(a+1)^2)>=0
故要此不等式对于0<=a<1恒成立, 必需要
a(4k^2-2k+1)+4k^2+2k-1>=0
对于0<=a<1恒成立, 注意到a的系数恒正, 故必需要
4k^2+2k-1>=0
恒成立, 解得的结果也是(这绝对不是偶然)
k>=(sqrt(5)-1)/4.
综上, 当k>0时, 使不等式恒成立的k的取值范围是 k>=(sqrt(5)-1)/4 .
注: (sqrt(5)-1)/4的值约为0.309017, 应该没问题的, 我用bottema2009验证过, 当k取>=31/100时不等式成立, 而取k>=309/1000时即显示有反例, 可见这结果可靠.
好, k>0的研究暂时告一段落.
当a=0时好处理, 用回原不等式的东东, 左边为 k(k+b/c)(k+c/b), 显然有
k(k+b/c)(k+c/b)>=k(k+1)^2,
故此时应有
k(k+1)^2>=(k+1/2)^3,
解得
k>=(sqrt(5)-1)/4;
当b=c时, 可得b=c=(1-a)/2, 故左边为 (k+a/(1-a))(k+(1-a)/(1+a))^2, 不等式作差分解化为
(3a-1)^2(a(4k^2-2k+1)+4k^2+2k-1)/(8(1-a)(a+1)^2)>=0
故要此不等式对于0<=a<1恒成立, 必需要
a(4k^2-2k+1)+4k^2+2k-1>=0
对于0<=a<1恒成立, 注意到a的系数恒正, 故必需要
4k^2+2k-1>=0
恒成立, 解得的结果也是(这绝对不是偶然)
k>=(sqrt(5)-1)/4.
综上, 当k>0时, 使不等式恒成立的k的取值范围是 k>=(sqrt(5)-1)/4 .
注: (sqrt(5)-1)/4的值约为0.309017, 应该没问题的, 我用bottema2009验证过, 当k取>=31/100时不等式成立, 而取k>=309/1000时即显示有反例, 可见这结果可靠.
好, k>0的研究暂时告一段落.
2010-01-08 22:00:14 +0800 #7
哦, 还有一点, 由上面6楼的结果中, 也可以看出, 当 0<k<(sqrt(5)-1)/4 时, 必存在成立和不成立的例子, 也就是没有反向恒成立的正k, 这是因为当b=c时, 由上面的过程可知, a(4k^2-2k+1)+4k^2+2k-1决定了不等式是否成立及反向, 而若4k^2+2k-1<0(即0<k<(sqrt(5)-1)/4), 则取a=0时不等式必不成立, 而当b,c->0时左边显然可趋向正无穷, 故此时不等式又成立, 故......
2010-01-08 22:00:14 +0800 #8
k=0时反向成立上面说了, 其证明应该是地球人的了吧, 呵呵, 我就不证了.
下面开始研究k<0的情况.
首先显然 -1/2<=k<0 时不等式不成立, 且无反向成立的k.
因为此时右边非负, 取a->0,b=c=任意常数时, 左边显然为负数, 不等式不成立, 而取b,c->0, a=任意正常数时, 左边显然趋向正无穷, 不等式成立. 故此...
下面开始研究k<0的情况.
首先显然 -1/2<=k<0 时不等式不成立, 且无反向成立的k.
因为此时右边非负, 取a->0,b=c=任意常数时, 左边显然为负数, 不等式不成立, 而取b,c->0, a=任意正常数时, 左边显然趋向正无穷, 不等式成立. 故此...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #9
哎, 由于心情等原因, 暂时没法静下心来思考问题, 我就先暂停一下.
大家可以继续k<-1/2的工作...
大家可以继续k<-1/2的工作...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #10
2010-01-08 22:00:14 +0800 #11
2010-01-08 22:00:14 +0800 #12
引用:原帖由 kuing 于 2009-12-4 10:44 发表 
[/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4895838&ptid=523809][img
f(x)在[0,1)上要不就全下凸, 要不就先上凸后下凸, 故此, 要考虑 f(a)+f(b)+f(c) 的最小值情况, 只需考虑两种情况:
(1), a=0
(2), b=c
这个东西我一天没见过其证明就一天不敢乱用。。。拐点能正好是1/2的话还能讨论最大元位于哪一侧区间，拐点不在1/2就彻底没辙了。
[/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4895838&ptid=523809][imgf(x)在[0,1)上要不就全下凸, 要不就先上凸后下凸, 故此, 要考虑 f(a)+f(b)+f(c) 的最小值情况, 只需考虑两种情况:
(1), a=0
(2), b=c
这个东西我一天没见过其证明就一天不敢乱用。。。拐点能正好是1/2的话还能讨论最大元位于哪一侧区间，拐点不在1/2就彻底没辙了。
2010-01-08 22:00:14 +0800 #13
我晕，最后一个二次方程，竟然只写了一边....脑残了...[img]images/smilies/default/mad.gif[/img]
嘿嘿，那我的证法就把问题全部解决了...
嘿嘿，那我的证法就把问题全部解决了...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #14
[img]images/smilies/default/sweat.gif[/img]
这也归脑残了?
呵呵, 先放着, 出去散散心, 回来再看看能不能看进去...
这也归脑残了?
呵呵, 先放着, 出去散散心, 回来再看看能不能看进去...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #15
引用:原帖由 hejoseph 于 2009-12-4 13:40 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4896037&ptid=523809][img
k<0时要不等式恒成立，必须k≤-(1+√5)/4。
我做完正的时候也猜想这样, k正数时, 那个解(√5-1)/4是那个k的二次方程的一个根, 而另一个根则就是(1+√5)/4, 所以这给我一个很强烈的猜想, k<0时就应该是这另一个根为界, 呵呵...
[/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4896037&ptid=523809][imgk<0时要不等式恒成立，必须k≤-(1+√5)/4。
我做完正的时候也猜想这样, k正数时, 那个解(√5-1)/4是那个k的二次方程的一个根, 而另一个根则就是(1+√5)/4, 所以这给我一个很强烈的猜想, k<0时就应该是这另一个根为界, 呵呵...
2010-01-08 22:00:14 +0800 #16
引用:原帖由 REDRUM 于 2009-12-4 13:41 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4896041&ptid=523809][img
这个东西我一天没见过其证明就一天不敢乱用。。。拐点能正好是1/2的话还能讨论最大元位于哪一侧区间，拐点不在1/2就彻底没辙了。
我不是给过连接你么?
[/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4896041&ptid=523809][img这个东西我一天没见过其证明就一天不敢乱用。。。拐点能正好是1/2的话还能讨论最大元位于哪一侧区间，拐点不在1/2就彻底没辙了。
我不是给过连接你么?
2010-01-08 22:00:14 +0800 #17
When and Where....还有就是。。。KK你自己知道那个定理怎么证的不。。。
如果不清楚就用了~可不是求学的态度哦~[img]images/smilies/default/lol.gif[/img]
如果不清楚就用了~可不是求学的态度哦~[img]images/smilies/default/lol.gif[/img]
2010-01-08 22:00:14 +0800 #18
天涯, 我怎么觉得 (36+(x+y+z)^3)/(4(x+y+z)+9)<=x+y+z 不一定成立? x+y+z比较大的时候就不成立了吧?
2010-01-08 22:00:14 +0800 #19
不过事实上我们还是可以证明 xy+yz+zx<=x+y+z成立, 那后面的过程还是没问题的
2010-01-08 22:00:14 +0800 #20
嗯, 后面那一步放缩的前面的系数是m^2为正, 所以当k为负的时候依然适用, 故此可以给出负数时, 行
2010-01-08 22:00:19 +0800 #21
过程不记得太清楚了...在那个网站上编辑东西，能省则省....
不知道我能够发图片没有，每次发解答都很悲剧....[img]images/smilies/default/sad.gif[/img]
不知道我能够发图片没有，每次发解答都很悲剧....[img]images/smilies/default/sad.gif[/img]
2010-01-08 22:00:19 +0800 #22
还不能哎
要发图的话我帮你发吧, 传给我, 我编辑你贴子来发...
要发图的话我帮你发吧, 传给我, 我编辑你贴子来发...
