三元对称的一点点小加强.

a,b,c≥ 0，求k的最大值使得下式恒成立

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%2Bc%7D%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%2Ba%7D%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%2Bb%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bk%5Cmax%7B%5C%7B(a-b)%5E2%2C(b-c)%5E2%2C(c-a)%5E2%5C%7D%7D%7D%7Bab%2Bbc%2Bca%7D

供大家练手了。

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kmax=7/16
a,b,c中有一个为0时取得。

不妨设0<=a<=b<=c
不等式化为
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2+k(c-a)^2/(ab+bc+ca)
令a=0, 须有 b/c+c/b>=3/2+kc/b 恒成立, 令c=tb, 其中t>=1, 得到
k <= 1/t^2-3/(2t)+1
容易求得当t=4/3时上式右边取最小值, 最小值为7/16, 于是应有
k <= 7/16.
于是只需证当k=7/16时不等式成立, 即在0<=a<=b<=c下有
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2+7/16*(c-a)^2/(ab+bc+ca).

待续...