经典不等式

设a,b>0证明：a^b+b^a>1

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可以分类吧？
a>1,① b>1;②b=1;③ 0<b<1
a=1,b>0
0<a<1, ① b>1;②b=1;③ 0<b<1

其实只要证明在0<a<1且0<b<1时的情况就可以了，证明方法我还没想到。

他山之石，可以攻玉。
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提示一下：贝努里不等式

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任何一个元大于等于1的话就显然成立了,所以只需考虑(0,1)的情况.

做完这个还要推广哦,我还没弄出来唉~~....[img]images/smilies/default/mad.gif[/img]

kuing先把你的证明发上来啊

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.....我都没说我做出了这个.............

能给出解答吗？

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提示a^b>=a/(a+b)

谢谢，经你的提示已经证明出来了，相信大家也能证明出来的。

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.....还是要你提示才弄出喔......[img][/img]...........

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再来个类似的，S=X1+X2+....+Xn
Xi>0
求证：(S-X1)^X1+......+(S-Xn)^Xn>n-1

S=X1+X2+....+Xn
Xi>0
X1^(S-X1)+X2^(S-X2)+...+Xn^(S-Xn)>1
这个是否成立?

都是成立的，证明方法都类似

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呃......类似吗?.....好像不是喔.....[img]images/smilies/default/shocked.gif[/img] ...再看看....

(S-X1)^X1>(S-X1)/S
X1^(S-X1)>X1/S

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我上面想错了，不等式不一定成立的。

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我在14楼说的不等式:
S=X1+X2+....+Xn
Xi>0
X1^(S-X1)+X2^(S-X2)+...+Xn^(S-Xn)>1
当n≥6时已经被否定.

可以取x1=x2=...=xn=1/e
则X1^(S-X1)+X2^(S-X2)+...+Xn^(S-Xn)=n*e^(-(n-1)/e)
可以证明当n≥6时,n*e^(-(n-1)/e)<1 , (n->+∞时n*e^(-(n-1)/e) --> 0)
所以这个不等式当n≥6时就不成立了.至于n=3,4,5的情况还有待研究.
待续...

顶一下,13楼的不等式推广:
S=X1+X2+....+Xn
Xi>0
求证：(S-X1)^X1+......+(S-Xn)^Xn>n-1
大家考虑一下对不对....我还没弄出来

发题目的朋友哪里去了？很久没见过了。

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20楼:S=X1+X2+....+Xn
Xi>0
求证：(S-X1)^X1+......+(S-Xn)^Xn>n-1。
这么做
假定有至少一xi》1,不等式显然成立了，
如下在任意xi∈(0,1)情况下，
有（s-xi）^xi>(s-xi)/s,n个不等式相加，右边就是n-1.(注意s-xi>0即可，不必小于1的)。完

S=X1+X2+....+Xn
Xi>0
X1^(S-X1)+X2^(S-X2)+...+Xn^(S-Xn)>1
当n≥6时已经被否定。
n=3上面证明了，n=4,5的情况还有待研究.

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