关于递推关系的一个定理

求个证明

见图:



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拨弄彩色的琴弦，聆听你我的心声

猜测特解的形式为：u[n]=P(n)
代入原方程中，化简后可以把P(n)的形式定为 P(n)=(n^i)*g(n)

不是所有的问题都有答案。: yjq24.blogbus.com/

麻烦给个详细点的过程行么？[img]images/smilies/default/handshake.gif[/img]

拨弄彩色的琴弦，聆听你我的心声

对了，右边的非齐次项可以推广到 f(n)=Qm(n)*(q^n)，其中 Qm(n) 为 n 的 m 次多项式。
这时候要检验的就是q是特征方程的几重根了，楼主问的问题正好是q=1的情况。

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......
可怜我齐次的还会点, 这个真的不懂了...

顶一顶...

给个过程吧大侠，你这样说好抽象。

拨弄彩色的琴弦，聆听你我的心声

不好意思啊,想当然了,好像比微分方程的情况要难弄...我再想想,不过4楼的结论还是正确的.

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汗汗，貌似要用到很高级的方法。。。

拨弄彩色的琴弦，聆听你我的心声

你有什么收获么？



如果 1-a1-a2=0 那么左边n的最高次系数就为0了，于是P(n)至少要m+1次。
但是没办法再往下做下去。。。

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发现一开始就把递推化成差分就可以解决了。。。以二阶为例





以a=1为例，
如果1是1重根，则1+p+q=0且2+p<>0，那么delta(u[n])为m次多项式，故u[n]可设为 nQm(n);
如果1是2重根，则1+p+q=0且2+p=0，那么delta^2(u[n])为m次多项式，故u[n]可设为 n^2Qm(n).

差分不太懂...

何版来帮帮忙哇, 我记得你之前也是说差分的...有时间写写看?

m次多项式经过m+1次差分后都变成0，而原递推数列（设其特征方程为u(x)=0）经过m+1次差分后得到一个常系数一次递推数列，其特征方程为(x-1)m+1u(x)=0，这个特征方程的特征根1的重数为j+m+1，所以差分后的递推数列有特解njg(n)，递推前的特解也是njg(n)，g(n)的系数可以用待定系数法去求，根据Vandermonde行列式知当f(n)不恒为零时待定系数的方程组必定有解且唯一，所以njg(n)是这种形式的唯一特解。

他山之石，可以攻玉。
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