不等式sum(1/(2+a^2+b^2))<=3/4

正数 a,b,c 满足 a+b+c=3, 求证下式:



不是所有的问题都有答案。: yjq24.blogbus.com/

要是能有下式就好了...



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证出这个也没用吧, 放过了吧...

不过你二楼这个东东又确实成立, 但也不好证, 好像在兴趣小组有个类似...

今天太困了, 没精力玩了, 先睡一觉再说.......

仅仅是Cauchy不等式就可以证明了.2009年伊朗的国家队题目。[img]images/smilies/default/smile.gif[/img]

话说我暴力地证了......



去分母展开后配方得

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鉴于难度关系转去兴趣小组

这类不等式题以后尽量发兴趣小组吧...[img]images/smilies/default/sweat.gif[/img]

汗，网站的编辑真不会了。。。将就着看吧。

辛苦啦~谢谢~原来一路柯西就搞定了~

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嗯...行
[img]images/smilies/default/biggrin.gif[/img]

a,b,c>0,a+b+c=3,确定k的最小值使得下式恒成立

其实我想知道有没有人研究过这问题了......

"bottema"说k可以达负无穷, 也可达正无穷, 但直接证这个k又不成立, 怪? 看来是"两极"成立, 但中间不成立... 我研究下..........

此题属于Vasile....

k≥0时等价于


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他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

不过没有最小k也正常, 当k负得很厉害时,

sum(1/(a^2+b^2+k))<=3/(k+2)
即
sum(1/(-k-a^2-b^2))>=3/(-k-2)
用柯西后再放个缩是显然成立的
比如取k=-100, 则不等式等价于
sum(1/(100-a^2-b^2))>=3/98
由柯西有
sum(1/(100-a^2-b^2))>=9/(300-2(a^2+b^2+c^2))>=9/(300-2(a+b+c)^2/3)=3/98...

当k>=2时用同样的方法已经获证



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k≥0时k的最小值为1.6时1/(a2+b2+k)+1/(b2+c2+k)+1/(c2+a2+k)≤3/(k+2)恒成立。
k≤0时猜测k的最大值为-9时1/(a2+b2+k)+1/(b2+c2+k)+1/(c2+a2+k)≤3/(k+2)恒成立。

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[img]images/smilies/default/sad.gif[/img] 本人失误了，没有说明k为非负数...引来大家一片讨论。当k为非负时，何版的结果是正确的。
当k小于0时，没有考虑过了...

没关系, 说不定这讨论负数还会有更好玩的结果...

负数时, 如果分母能正数地趋向0, 那么应该就不会小于等于个常数了吧? 看来还能一搞...

k≤-9时1/(a2+b2+k)+1/(b2+c2+k)+1/(c2+a2+k)≤3/(k+2)必定恒成立，这个已经可以肯定了，还有软件的验证一下。

k<0时“负数时, 如果分母能正数地趋向0, 那么应该就不会小于等于个常数了吧? ”这个只有k>-9时才会出现的。

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引用:原帖由 hejoseph 于 2009-12-1 09:28 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=4892307&ptid=522915][img
k<0时“负数时, 如果分母能正数地趋向0, 那么应该就不会小于等于个常数了吧? ”这个只有k>-9时才会出现的。
嗯, 就是大于-9时分母就能正数地趋向0了, 原理也简单, 因为a^2+b^2+k能取(k,k+9)区间, 所以如果0>k>-9, 那么a^2+b^2+k就必定能正向取到0, 而另外两个就不是, 故左边就正无穷大, 必定不成立...

至于k=-9, 其证明就和我上面取k=-100一样了...