一道数论题

那这道呢：求使方程〔a+1〉X^2 -(a2+1)X +2a^3-6=0有整数根的所有整数a

引用:原帖由 综合数学 于 2010-8-11 20:53 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=5284399&ptid=674197][img
那这道呢：求使方程〔a+1〉X^2 -(a2+1)X +2a^3-6=0有整数根的所有整数a
呃.....一时想不到比较好的做法
关键是怕另一个解不是整数.....
先给个比较疯狂的解法......

附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

Arus____战巡
操起板砖，解放台湾

2楼斑竹，4次方程分解因式，怎么做的啊，是代定系数做的吗？可是2次项系数-7和1怎么确定的？以前只是听说过4次求根公式

其实就是用求根公式来分解.....
对于四次方程x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，可以分解为
[x^2+(b+Sqrt[b^2+4c+4y])x/2+(y+Sqrt[y^2-4e])/2][x^2+(b-Sqrt[b^2+4c+4y])x/2+(y-Sqrt[y^2-4e])/2]
其中y满足方程y^3-cy^2+(bd-4e)y-b^2e+4ce-d^2=0
先用卡当公式解出y，带入后再解x

所以说这个做法比较疯狂.......

Arus____战巡
操起板砖，解放台湾

计算判别式后如下：


附件: 您所在的用户组无法下载或查看附件

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

[img]images/smilies/default/funk.gif[/img] 这题这么恐怖啊。能不能给个简便易懂的解法，至少是让高一学生看得懂，我才初三毕业[img]images/smilies/default/cry.gif[/img]

哈哈哈哈哈哈哈哈

放弃吧，1996湖北省黄冈地区初中数学竞赛 中的原题。
如果不参加竞赛，不必整判别式这么复杂的玩意。

△⊥∠∑∏∪∩∈±⊙∫≡≈±×÷∴∝≠≤≥∞∵→←↑↓
≈≡≠＝≤≥＜＞≮≯∷∞∝∮∫／÷×－＋±∧∨∵∴√∽≌⊙⌒∠∥⊥△

求使方程 有整数根的整数a的值？
解：（1）若方程为一元一次方程，显然a＝－1，经检验符合题意。
（2）若方程为一元二次方程，设方程两个根为： ，由韦达定理得：

，
∵ 为整数则 也为整数
即 为整数，
∴ 为整数
∴（a＋1）为2的约数，
∴a＋1＝±1，±2
a＝0，－2,1，－3
其中－2，－3不符合题意，舍去
综上所述：a＝－1，0，1

引用:原帖由 xueshan45 于 2010-8-15 11:47 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=5289006&ptid=674197][img
求使方程 有整数根的整数a的值？
解：（1）若方程为一元一次方程，显然a＝－1，经检验符合题意。
（2）若方程为一元二次方程，设方程两个根为： ，由韦达定理得：
，
∵ 为整数则 也为整数
即 为整数，
∴ 为 ...
这样是不行的.....我最早也想过这种办法
另一个根不一定是整数，可以是分数，这样(a^2+1)/(a+1)可以是分数，你说不清楚

Arus____战巡
操起板砖，解放台湾

这个题目如果是这样的解法，完全没有考出学生应该要掌握的方法，对于一元二次方程整数根问题主要方法有：韦达定理然后分离系数法；因式分解法；判别式法，但是判别式是完全平方数，才能有整数跟。但是这种题目的解法确实非常罕见，对于竞赛普及和应用非常不利。你的意见肯定是对的，我在解题的时候也考虑到了。所以我考虑是不是原题引用有出入。

顶顶你~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

不同意这样的想法。不是正常的解法就不好？就算所有中国人都拿竞赛金牌又如何，面子工程而已，能静下心来搞数学研究的没几个，长此下去中国是不可能有数学家的。

他山之石，可以攻玉。
我的博客: hejoseph.blog.sohu.com/

这样做行不行？
a != -1
因为两根都是整数，所以：
(a+1) | (2a^3 -6)
(a+1) | (a^2+1)
进而
(a+1)|(a^2+1)*2 - (2a^3 - 6) 即 (a+1)|2a+6

再简之就是
(a+1) | 2
检验 -3 ， -2 ， 0 ，1

静默之堂: blog.163.com/tan9p

引用:原帖由 tan9p 于 2010-8-17 17:43 发表 [/img]: bbs.pep.com.cn/redir...=5292432&ptid=674197][img
这样做行不行？
a != -1
因为两根都是整数，所以：
(a+1) | (2a^3 -6)
(a+1) | (a^2+1)
进而
(a+1)|(a^2+1)*2 - (2a^3 - 6) 即 (a+1)|2a+6

再简之就是
(a+1) | 2
检验 -3 ， -2 ， 0 ，1
前面就说过了...题目没说两个根都是整数，你要先证明这个才能这样做

Arus____战巡
操起板砖，解放台湾