因式分解及最大公因数

对任意非负整数n，所有形如7^(n+2)+8^(2n+1)形式的数中最大公因数是（  ）A.15  B. 57  C.19  D.不存在
答案是57，但如何解出来？

这个倒也不难~
首先n=0的时候，7^2+8^1=57
这个是成立的
假设n=k时成立
即7^(k+2)+8^(2k+1) mod 57=0
设7^(k+2) mod 57=m，则8^(2k+1) mod 57=57-m
则7^(k+3)+8^(2k+3)=7*7^(k+2)+64*8^(2k+3) mod 57=7m+64(57-m) mod 57=64*57-57m mod 57=0
因此7^(k+3)+8^(2k+3)也是57的倍数
所以n为任意自然数情况下都成立

Arus____战巡
操起板砖，解放台湾